2026年研考浙江海洋大學(xué)610《數(shù)學(xué)分析》初試自命題大綱

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2026年研究生初試自命題考試大綱--數(shù)學(xué)

610《數(shù)學(xué)分析》

一、考查目標(biāo)

1、系統(tǒng)、正確地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握解決數(shù)學(xué)分析中問(wèn)題的基本思維方法和證明方法。

2、具有抽象思維能力和邏輯推理能力，掌握熟練的演算技巧，具備初步的應(yīng)用能力和較強(qiáng)的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的綜合能力。

二、試卷結(jié)構(gòu)

1、題型結(jié)構(gòu)

填空題、計(jì)算題、證明題，共計(jì)150分。

2、內(nèi)容結(jié)構(gòu)

函數(shù)極限與連續(xù)性、一元函數(shù)的微積分、多元函數(shù)的微積分、級(jí)數(shù)理論。

三、考試內(nèi)容及要求

1、實(shí)數(shù)集與函數(shù)

實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)概念及性質(zhì);絕對(duì)值與不等式。

數(shù)集確界原理：區(qū)間與鄰域;有界集與無(wú)界集;上確界與下確界，確界原理。

函數(shù)概念：函數(shù)定義;函數(shù)的表示方法;函數(shù)的四則運(yùn)算;復(fù)合函數(shù);反函數(shù);初等函數(shù)。

具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，無(wú)界函數(shù);單調(diào)函數(shù)，單調(diào)遞增(減)函數(shù)，嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，單調(diào)函數(shù)與反函數(shù);奇函數(shù)與偶函數(shù);周期函數(shù)。

2、數(shù)列極限

極限概念：數(shù)列極限定義，數(shù)列的斂散性;無(wú)窮小數(shù)列。

收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性;有界性;保號(hào)性;保不等式性;迫斂性;四則運(yùn)算;歸結(jié)原則。

數(shù)列極限存在的條件：?jiǎn)握{(diào)有界定理;柯西收斂準(zhǔn)則。

3、函數(shù)極限

函數(shù)極限的概念：函數(shù)極限的幾種形式;左、右極限。

函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性;局部有界性;局部保號(hào)性;保不等式性;迫斂性;四則運(yùn)算

函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則;柯西準(zhǔn)則。

兩個(gè)重要極限： ; 。

無(wú)窮小量與無(wú)窮大量：無(wú)窮小量與階的比較、高階無(wú)窮小量、同階無(wú)窮小量、等價(jià)無(wú)窮小量;無(wú)窮大量;曲線的漸近線(斜漸近線、水平漸近線與垂直漸近線)。

4、函數(shù)連續(xù)

函數(shù)連續(xù)性概念：函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)性、左(右)連續(xù)性的概念及相互關(guān)系;間斷點(diǎn)及類型;區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)，包括局部有界性、局部保號(hào)性、四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性;有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，包括有界性定理、最值定理、介值性定理、根的存在定理、一致連續(xù)性定理;反函數(shù)的連續(xù)性。

初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)的連續(xù)性;初等函數(shù)的連續(xù)性。

5、導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù);導(dǎo)函數(shù);導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算;反函數(shù)導(dǎo)數(shù);復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(鏈?zhǔn)椒▌t、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法);基本導(dǎo)數(shù)法則與公式。

參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

高階導(dǎo)數(shù)：高階導(dǎo)數(shù)定義;萊布尼茨公式。

微分：微分的概念;微分運(yùn)算法則;高階微分;微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

6、微分中值定理及其應(yīng)用

拉格朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性：羅爾定理與拉格朗日定理;單調(diào)函數(shù)。

柯西中值定理和不定式極限：柯西中值定理;不定式的極限。

泰勒公式：帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式;帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式;在近似計(jì)算上的應(yīng)用。

函數(shù)的極值與最值：極值判別;最大值與最小值。

函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)：凸函數(shù)與凹函數(shù);嚴(yán)格凸函數(shù)與嚴(yán)格凹函數(shù);拐點(diǎn)。

函數(shù)作圖：函數(shù)性態(tài)討論，函數(shù)作圖的一般步驟。

7、實(shí)數(shù)完備性

實(shí)數(shù)完備性基本定理：閉區(qū)間套與閉區(qū)間套定理;聚點(diǎn)與聚點(diǎn)定理;有限覆蓋與有限覆蓋定理;確界定理;單調(diào)有界定理;柯西收斂準(zhǔn)則;基本定理的等價(jià)性。

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)：有界性定理;最大、最小值定理;介值定理;一致連續(xù)性定理。

上極限與下極限：最小聚點(diǎn)與下極限;最大聚點(diǎn)與上極限。

8、不定積分

不定積分概念與基本積分公式：原函數(shù)與不定積分;基本積分表;不定積分的線性運(yùn)算法則。

換元積分法與分部積分法：第一換元法與第二換元法;分部積分法。

有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分：有理函數(shù)的部分分式分解方法，有理函數(shù)的積分;幾類可化為有理函數(shù)的積分。

9、定積分

定積分的概念：?jiǎn)栴}的提出;定積分的定義。

牛頓—萊布尼茲公式。

可積條件：可積的必要條件;達(dá)布上(下)和;上積分與下積分;可積的充要條件;可積函數(shù)類。

定積分的性質(zhì)：定積分的基本性質(zhì);積分(第一)中值定理。

微積分學(xué)基本定理定積分計(jì)算(續(xù))：變限積分與原函數(shù)的存在性;積分(第二)中值定理;定積分的換元積分法和分部積分法。

10、定積分的應(yīng)用

微元法;平面圖形面積計(jì)算;已知平行截面面積求體積;平面曲線弧長(zhǎng)與曲率;旋轉(zhuǎn)曲面的面積;定積分在物理中的某些應(yīng)用，包括液體靜壓力、引力、功與平均功率等。

11、反常積分

反常積分概念：無(wú)窮限反常積分與收斂的定義;無(wú)界函數(shù)反常積分(瑕積分)與收斂的定義。

無(wú)窮限反常積分的性質(zhì)與收斂判別：無(wú)窮限反常積分的性質(zhì);絕對(duì)收斂與條件收斂;比較法則;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法。

瑕積分的性質(zhì)與收斂判別：瑕積分的性質(zhì);絕對(duì)收斂與條件收斂;比較法則;柯西判別法;狄利克雷判別法;阿貝爾判別法。

12、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

級(jí)數(shù)的斂散性：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性概念;級(jí)數(shù)收斂的柯西收斂準(zhǔn)則，收斂級(jí)數(shù)的若干性質(zhì)。

正項(xiàng)級(jí)數(shù)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則;比式判別法與根式判別法;積分判別法與拉貝判別法。

一般項(xiàng)級(jí)數(shù)：交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲判別法;絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)及其性質(zhì);阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

13、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

一致收斂性：函數(shù)列及其一致收斂性概念與判別法;函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂概念與判別法。

一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)：連續(xù)性;可微(導(dǎo))性;可積性。

14、冪級(jí)數(shù)

冪級(jí)數(shù)：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域;冪級(jí)數(shù)的性質(zhì);冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性。

函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)：泰勒級(jí)數(shù)(麥克勞林級(jí)數(shù));幾種常見(jiàn)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。

歐拉公式。

15、傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉級(jí)數(shù)：三角函數(shù)與正交函數(shù)系;傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉系數(shù);以為周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù);收斂定理;周期延拓;奇延拓與偶延拓;正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)。

以為周期的函數(shù)的展開(kāi)式：以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù);奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。

收斂定理的證明。

16、多元函數(shù)極限與連續(xù)

平面點(diǎn)集與多元函數(shù)：平面點(diǎn)集的基本概念，包括鄰域、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、開(kāi)集、閉集等;平面點(diǎn)集的完備性定理;二元函數(shù)的定義;多元函數(shù)的定義。

二元函數(shù)的極限：二元函數(shù)極限概念;二元函數(shù)極限計(jì)算與存在性判別法;累次極限;累次極限與重極限的關(guān)系。

二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)連續(xù)性概念及其性質(zhì);全增量與偏增量;有界閉域上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)。

17、多元函數(shù)的微分學(xué)

可微性：可微性與全微分;偏導(dǎo)數(shù);可微性條件;切平面的定義與可微的幾何意義，全微分應(yīng)用與近似計(jì)算。

多元復(fù)合函數(shù)微分法：多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;鏈?zhǔn)椒▌t;多元復(fù)合函數(shù)的全微分與一階微分的形式不變性。

方向?qū)��?shù)與梯度。

泰勒定理與極值問(wèn)題：高階偏導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)的中值定理與泰勒公式;極值問(wèn)題;黑賽(Hesse)矩陣。

18、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

隱函數(shù)：隱函數(shù)概念;隱函數(shù)存在性與可微性定理;反函數(shù)存在定理。

隱函數(shù)組：隱函數(shù)組定理;反函數(shù)組與坐標(biāo)變換;雅可比(Jacobi)行列式。

隱函數(shù)(組)定理的應(yīng)用：平面曲線的切線與法線;空間曲線的切線與法平面;曲面的切平面與法線。

條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。

19、含參量積分

含參量正常積分：含參量正常積分的概念;連續(xù)性、可微性與可積性。

含參量反常積分：一致收斂性及其判別法;含參量反常積分的性質(zhì)(連續(xù)性、可微性與可積性)。

歐拉積分：函數(shù)及其性質(zhì);函數(shù)及其性質(zhì)。

20、曲線積分

第一型曲線積分：第一型曲線積分的定義及其性質(zhì)、計(jì)算。

第二型曲線積分：第二型曲線積分的定義及其性質(zhì)、計(jì)算。

兩類曲線積分的聯(lián)系。

21、重積分

二重積分概念：平面圖形的面積;二重積分的定義及其存在性;二重積分的性質(zhì)。

二重積分的計(jì)算：二重積分與累次積分;換元積分法(極坐標(biāo)變換與一般變換)。

格林公式;曲線積分與路徑無(wú)關(guān)性。

三重積分：三重積分的概念;三重積分計(jì)算、三重積分與累次積分;三重積分換元積分法：柱坐標(biāo)變換，球坐標(biāo)變換與一般坐標(biāo)變換。

重積分應(yīng)用：曲面的面積;重心坐標(biāo);轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

22、曲面積分

第一型曲面積分：第一型曲面積分的概念與計(jì)算。

第二型曲面積分：曲面的側(cè);第二型曲面積分的概念與計(jì)算。

高斯公式與斯托克斯公式。

場(chǎng)論初步：場(chǎng)的概念;梯度場(chǎng);散度場(chǎng);旋度場(chǎng)。

四、推薦書(shū)目：

1、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析.第4版[M]，高等教育出版社，2010.